九章算术提要

九章算术九卷，不详作者名氏。九章算术是一部现在有传本的、最古老的中国数学书，它的编纂年代大约是在东汉初期。书中？集了二百四十六个应用问题的解法，分別隶属於方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章。

　　春秋、战国时期社会生产力的逐渐提高，促进了数学知识和计算技能的发展。当时各国的统治阶级要按亩收税，必须有测量土地、计算面积的方法；要储备粮食，必须有计算仓库容积的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必须能计算工程人功；要修订一个適合农业生产的历法，必须能运\用有关的天文数据。那时的百姓掌握了相当丰富的、由日常生活中产生的数学知识和计算技能。虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但无可怀疑的是九章算术方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的题解方法，绝大部分是产生於秦以前的。汉书艺文志术数类著录有许商算术二十六卷，杜忠算术十六卷，这两部算术虽早已失传，应该是东汉初编纂的九章算术的前身，它们的主要教材应当被保存於九章算术各章之內。

　　周礼大司徒篇说：「保氏掌諫王恶而养国子以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。」这是说，主持贵族子弟教育的保氏以礼、乐、射、驭、书、数为「小学」的六门课程，每一门课程又各有若干细目，例如「数」学中有九个细目。但在周礼裏没有把「九数」列举出来，我们就无法考证它的內容。汉武帝时这部周礼开始受到经学家的注意。到东汉时期，郑眾、马融等都为「九数」作了注解。东汉末郑玄周礼注引郑眾说：「九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、贏不足、旁要，今有重差、句股。」事实上，郑眾所说「九数」中的「均输」已是汉武帝太初元年以后的赋税制度，决不是周礼九数原有的一个细目。「方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、贏不足、旁要」大概是西汉末传统算术的主要纲目，「今有重差、句股」说明数学有了新的发展。传本九章算术將句股代替旁要，它的编纂年代当在郑眾注周礼「九数」（约公元五０年）之后。后汉书马援传说，马续「善九章算术」。马续是马援的侄孙，马融（公元七九——一六六年）之兄，他的生年约在公元七０年前后。马续研究九章算术大概在公元九０年前后。根据上述史料，我们认为九章算术的编定年代是在公元第一世纪的后半个世纪，而各章的主要內容在第一世纪初期已具备了一定的成就。

　　九章算术不但对后世的数学著作奠定了优良的传统，对世界数学的发展也有著重要的贡献。现在小学算术课程中的分数四则，各种比例，面积和体积，以及各类应用问题的解法，在九章算术方田、粟米、衰分、商功、均输、盈不足等章裏已有了相当详备的內容。现在中学课程中的代数部分，如开平方、开立方、正负数、联立一次方程组、二次方程等项目，在少广、方程、句股章裏亦已有了卓越的成就。

　　传本九章算术有刘徽注和唐李淳风等的注释。刘徽是我国古代杰出的数学家。他为九章算术作注解，又自撰重差一卷附於九章算术九卷之后，故隋书经籍志著录「九章算术十卷，刘徽撰」。经籍志又录有「九章重差图一卷，刘徽撰」，当是十卷本的附图，可惜早已亡佚。九章算术方田章圆田术注和商功章圆困术注中都论及「晋武库中有汉时王莽所作铜斛」。隋书律历志论歷代量制引商功章注，说「魏陈留王景元四年（公元二六三年）刘徽注九章」。我们根据这些资料，认为刘徽是魏、晋时人。他的生平履歷无可详考。

　　刘徽九章算术注自序说：「又所析理以辞，解体用图。庶亦约而能周，通而不黷，览之者思过半矣。」这是说，问题解法的理论分析，要用明確的语言表达出来；空间形体的具体分解，要用几何图形显示出来。这样纔能做到又简又明，启发读者的思考。他在注中一方面整理九章算术各个问题的解法，理论上属於一类的使它们归於一类，提纲挈领地阐明所以能解的道理。在另一方面，对於原来所有不够准確的近似计算，他提出了更精確的计算方法。例如九章算术原术取用三为圆周率，他通过了圆內接正三百八十四边形和正三千零七十二边形面积的严密计算，得到圆周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如开平方或开立方不尽时（平方根或立方根为无理数），原有以分数表示奇零部分的方法不甚准確，他主张继续开方，得出以十进分数表示平方根或立方根的近似值。此外，他创立许多新的解题方法，例如盈不足章第十九题的等差级数求和法，方程章第七题的互乘相消法，第九题的消去常数项法，句股章第十六题的內切圆径公式等等，都比原术简便。

　　唐李淳风等对刘徽注本九章算术作了一些解释，原有刘注意义十分明確的不再补注，盈不足、方程二章就没有他们的注释。九章算术所有与圆面积有关的问题，都取圆周率三计算，刘徽注以为应取五十分之一百五十七，李淳风等补注认为可以用七分之二十二计算，这是对的。但七分之二十二是祖冲之的所谓「约率」，而李淳风等引用此率，称它为「密率」。后世人误认七分之二十二为「密率」的很多，这是李注的谬种流传。少广章开立圆术，李淳风等注释引祖？之说，介绍球体积公式的理论基础。缀术书失传后，祖冲之父子对於球体积的研究，幸有李淳风等的征引而得流传到现在。

　　刘、李注本九章算术到北宋仁宗时有贾宪所撰的细草，原书早已失传，但永乐大典中保存杨辉所引的贾宪开方法是非常宝贵的数学史料。南宋末有杨辉详解九章算法十二卷（一二六一），现在仅存商功、均输、盈不足、方程、句股五章和「九章算法纂类」。杨辉钞录的九章算术本文和刘、李二家注文有很多脱误，但也有可据以对校永乐大典本的文字。清嘉庆初年李潢撰九章算术细草图说九卷，有校勘、有补图、有详草、有说明，发挥九章算术刘徽注的原意，对於读者是大有裨益的。